[수치해석] 중간 요약
수치해석 중간고사 :
- Taylor Series (테일러 급수):
- 함수를 다항식으로 근사하는 방법.
- 곡선을 다항식으로 근사화.
- 함수를 다항식으로 표현하는 데 필요한 항 사용.
- 파이썬 코딩 - 머신 엡실론 구하기:
- 머신 엡실론은 부동 소수점 정밀도 한계를 나타냄.
- 파이썬에서 머신 엡실론은 sys.float_info.epsilon을 통해 확인 가능.
- 파이썬 코딩 - Taylor Series 코드:
- Taylor 시리즈를 사용하여 함수를 근사화하기 위한 파이썬 코드 작성.
- Precision과 Accuracy (정밀도와 정확도):
- 정밀도는 연산 결과의 소수점 자릿수로 정밀도를 나타냄.
- 정확도는 연산 결과와 실제 값의 차이를 나타냄.
- 2차 방정식의 근을 구하는 다른 공식:
- 2차 방정식의 근을 구하기 위해 이차 공식 또는 근의 공식 사용.
- Difference Methods (차분 방법):
- Forward Difference (전진 차분): f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h
- Backward Difference (후진 차분): f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h
- Centered Difference (중앙 차분): `f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)
- Root Finding Methods (근 찾기 방법):
- Bisect (이분법): 근을 찾기 위해 이분법 사용.
- False Position (가짜 위치법): 근을 찾기 위해 가짜 위치법 사용.
- Modified False Position (개선된 가짜 위치법): 가짜 위치법의 개선된 버전을 사용.
- Single Fixed Point (고정점 반복법): 근을 찾기 위해 고정점 반복법 사용.
- Newton-Raphson (뉴턴-래프슨 방법): 근을 찾기 위해 뉴턴-래프슨 방법 사용.
- 상대 오차 그래프를 비교하여 정확도 확인.
- Bracketing Method (범위 결정 방법):
- Bracketing Method은 근이 존재할 범위를 결정하는 방법.
- 이분법과 가짜 위치법은 Bracketing Method의 예시.
- Open Method (개방 방법):
- Open Method은 근의 근사치에서 시작하여 근을 찾는 방법.
- 뉴턴-래프슨 방법은 Open Method의 예시.
- 탐색 시간 그래프:
- 탐색 시간을 그래프로 표시하고 어떤 방법을 사용하는지 확인.
- 맥클로린 급수:맥클로린급수(e^x,e^-x 둘다 시험에 나옴)
- 함수를 다항식으로 근사화하는 방법.
- 주어진 함수의 맥클로린 급수를 활용하여 근사화.
- 테일러 급수 Zero to Third Order (테일러 급수 0차부터 3차까지):
- 주어진 함수에 대한 테일러 시리즈를 0차부터 3차까지 몇 개의 항을 사용하여 근사화할 수 있는지 확인.
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수치해석 중간고사 요약:
테일러 급수 Zero to Third Order (테일러 급수 0차부터 3차까지):
0차 테일러 급수:
f(x) ≈ f(a)
1차 테일러 급수:
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a)
2차 테일러 급수:
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2
3차 테일러 급수:
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + (1/6)f'''(a)(x - a)^3
Taylor Series (테일러 급수):
함수를 다항식으로 근사하는 방법.
곡선을 다항식으로 근사화.
함수를 다항식으로 표현하는 데 필요한 항 사용.
테일러 급수는 함수 f(x)를 다음과 같이 근사화:
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + (1/6)f'''(a)(x - a)^3 + ...
맥클로린 급수:
맥클로린 급수는 테일러 급수의 특별한 형태로, 특정 지점 (일반적으로 a=0)에서 함수를 근사화하는 방법.
함수 f(x)를 0 지점을 중심으로 다음과 같이 근사화:
f(x) ≈ f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x^2 + (1/6)f'''(0)x^3 + ...
특히, a가 0인 경우 맥클로린 급수라고 부릅니다.
e^x의 맥클로린 급수:
e^x ≈ 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + (1/24)x^4 + ...
e^-x의 맥클로린 급수:
e^-x ≈ 1 - x + (1/2)x^2 - (1/6)x^3 + (1/24)x^4 - ...
파이썬 코딩 - 머신 엡실론 구하기:
머신 엡실론은 부동 소수점 정밀도 한계를 나타냄.
파이썬에서 머신 엡실론은 sys.float_info.epsilon을 통해 확인 가능.
파이썬 코딩 - Taylor Series 코드:
Taylor 시리즈를 사용하여 함수를 근사화하기 위한 파이썬 코드 작성.
Precision과 Accuracy (정밀도와 정확도):
정밀도는 연산 결과의 소수점 자릿수로 정밀도를 나타냄.
정확도는 연산 결과와 실제 값의 차이를 나타냄.
2차 방정식의 근을 구하는 다른 공식:
2차 방정식의 근을 구하기 위해 이차 공식 또는 근의 공식 사용.
Difference Methods (차분 방법):
Forward Difference (전진 차분): f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h
Backward Difference (후진 차분): f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h
Centered Difference (중앙 차분): `f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)
Root Finding Methods (근 찾기 방법):
Bisect (이분법): 근을 찾기 위해 이분법 사용.
False Position (가짜 위치법): 근을 찾기 위해 가짜 위치법 사용.
Modified False Position (개선된 가짜 위치법): 가짜 위치법의 개선된 버전을 사용.
Single Fixed Point (고정점 반복법): 근을 찾기 위해 고정점 반복법 사용.
Newton-Raphson (뉴턴-래프슨 방법): 근을 찾기 위해 뉴턴-래프슨 방법 사용.
상대 오차 그래프를 비교하여 정확도 확인.
Bracketing Method (범위 결정 방법)와 Open Method (개방 방법)을 사용하여 근 찾는 방법 포함.
탐색 시간 그래프:
탐색 시간을 그래프로 표시하고 어떤 방법을 사용하는지 확인.
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*테일러 급수 Zero to Third Order (테일러 급수 0차부터 3차까지):0차 f(x)≈≈f(a)
1차 f(x):f(a) + f'(a)(x - a) 2차 f(x):f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2
3차 f(x):f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + (1/6)f'''(a)(x - a)^3
*Taylor Series (테일러 급수):함수를 다항식으로 근사하는 방법.
곡선을 다항식으로 근사화.함수를 다항식으로 표현하는 데 필요한 항 사용.
테일러 급수는 함수 f(x)근사화: f(x): f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + (1/6)f'''(a)(x - a)^3 + ...
*맥클로린 급수:테일러 급수의 특별한 형태로, 특정 지점 (일반적으로 a=0)에서 함수를 근사화하는 방법.
함수 f(x)를 0 지점을 중심으로 다음과 같이 근사화: f(x):f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x^2 + (1/6)f'''(0)x^3 + ...
특히, a가 0인 경우 맥클로린 급수라고 부릅니다.
e^x의 맥클로린 급수:e^x : 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + (1/24)x^4 + ...
e^-x의 맥클로린 급수:e^-x: 1 - x + (1/2)x^2 - (1/6)x^3 + (1/24)x^4 - ...
* 파이썬 코딩 - 머신 엡실론 구하기:머신 엡실론은 부동 소수점 정밀도 한계를 나타냄.
파이썬에서 머신 엡실론은 sys.float_info.epsilon을 통해 확인 가능.
* Precision과 Accuracy (정밀도와 정확도):정밀도는 연산 결과의 소수점 자릿수로 정밀도를 나타냄.
정확도는 연산 결과와 실제 값의 차이를 나타냄.
* 2차 방정식의 근을 구하는 다른 공식:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
* Difference Methods (차분 방법):
Forward Difference (전진 차분): f'(x): (f(x + h) - f(x)) / h
<>Backward Difference (후진 차분): f'(x):(f(x) - f(x - h)) / h
<>Centered Difference (중앙 차분): `f'(x):(f(x + h) - f(x - h)) / (2h)
* Root Finding Methods (근 찾기 방법):
* Bisect (이분법): 근을 찾기 위해 이분법 사용. 이 방법은 함수의 근이 존재하는 구간을 반복적으로 이등분하여 근의 근사값을 찾는 방법입니다.
* False Position (가짜 위치법): 근을 찾기 위해 가짜 위치법 사용. 가짜 위치법은 구간을 나누고 두 끝점에서의 함수 값으로 직선을 그어,
이 직선과 x-축이 만나는 지점을 새로운 근의 근사값으로 사용하는 방법입니다.
*Modified False Position (개선된 가짜 위치법): 가짜 위치법의 개선된 버전을 사용. 이 방법은 가짜 위치법의 한 변형으로,
더 빠른 수렴을 위해 수정된 방법을 사용합니다.
*Single Fixed Point (고정점 반복법): 근을 찾기 위해 고정점 반복법 사용. 고정점 반복법은 함수의 고정점을 찾는 방법으로,
근의 근사값을 반복적으로 수정하여 고정점에 수렴하게 합니다.
*Newton-Raphson (뉴턴-래프슨 방법): 근을 찾기 위해 뉴턴-래프슨 방법 사용. 이 방법은 함수의 미분 정보를
이용하여 빠르게 수렴하는 근의 근사값을 찾는 방법으로, 기울기를 이용하여 근의 위치를 조정합니다.
*Bracketing Method (범위 결정 방법)와 Open Method (개방 방법)을 사용하여 근 찾는 방법 포함.